Question

10．数列{a_n}中${a_1}=\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}$，记数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为T_n，则T₈的值为（　　）

• A． 57
• B． 77
• C． 100
• D． 126

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+3{a}_{n}}$两边同时取倒数，整理可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为3的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+3{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+3{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为3的等差数列，
∴T₈=2×8+$\frac{8（8-1）}{2}$×3=100，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．