Question

7．已知函数f（x）=2sinx•sin（$\frac{π}{3}$-x）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）如果0≤x≤$\frac{π}{2}$，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的对称轴方程．
（2）由0≤x≤$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinx•sin（$\frac{π}{3}$-x）=2sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$∈[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，化简函数f（x）的解析式是解题的关键，属于中档题．