Question

17．已知函数f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x（x＞0），其中e为自然对数的底数．当a=2时，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积为（　　）

• A． e
• B． 2e
• C． 3e
• D． 4e

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，求得与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：f（x）=（1-$\frac{2}{x}$）e^x的导数为f′（x）=e^x（$\frac{2}{{x}^{2}}$+1-$\frac{2}{x}$），
可得在（1，-e）处的切线的斜率为e，
切线的方程为y+e=e（x-1），即为y=ex-2e，
令x=0，可得y=-2e；令y=0，可得x=2．
则切线与坐标轴围成的面积为$\frac{1}{2}$×2×2e=2e．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．