Question

2．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，给出以下四个结论：①$\frac{tanA}{tanB}$=1；②1＜sinA+sinB$≤\sqrt{2}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C，其中正确的结论是②④．（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，得cos$\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而求得A+B=90°．
对于①，tanA•cotB=tanA•tanA=1等式不一定成立；对于②，利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，故②正确；对于③，sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1；④利用同角三角函数的基本关系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，根据C=90°可知sinC=1，故④正确．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tan²A，不一定等于1，故①不正确；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
45°＜A+45°＜135°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，故②正确；
∵sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正确；
∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C．故④正确．
综上知②④正确
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，主要考查了三角函数的化简求值．考查了学生综合分析问题和推理的能力，考查了运算能力和转化思想，属于中档题．