Question

7．近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说，老年人（年满60周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人（18周岁至60周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查，结果如下表：

	赞成禁放	不赞成禁放	合计
老年人	60	140	200
中青年人	80	120	200
合计	140	260	400

（I）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由；
（Ⅱ）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人，再从这13人中随机的挑选2人，了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右．用 X表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求X的分布列和数学期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（k2＞k0）	0.050	0.025	0.010
k0	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²≈4.3956＞3.841，得有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关．
（Ⅱ）13人中有老年人7人，中青年人6人．那么X=2000，1500，1000．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与EX．

解答 解：（Ⅰ）因为${K^2}=\frac{{400×{{（60×120-140×80）}^2}}}{140×260×200×200}=\frac{400}{91}≈4.3956＞3.841$，
所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关．…（5分）
（Ⅱ）因为140：120=7：6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人．
那么X=2000，1500，1000．…（7分）
$P（X=2000）=\frac{C_6^2}{{C_{13}^2}}=\frac{5}{26}$，
$P（X=1500）=\frac{C_7^1C_6^1}{{C_{13}^2}}=\frac{7}{13}$，
$P（X=1000）=\frac{C_7^2}{{C_{13}^2}}=\frac{7}{26}$，
所以X的分布列为：

X	2000	1500	1000
P	$\frac{5}{26}$	$\frac{7}{13}$	$\frac{7}{26}$

所以$EX=2000×\frac{5}{26}+1500×\frac{7}{13}+1000×\frac{7}{26}=\frac{19000}{13}≈1462$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．