Question

19．已知函数f（x）=x²-x|x-a|-3a，a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，求$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数的性质求出分段函数的表达式，即可求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论a的取值范围结合函数f（x）有两个零点，构造函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={x^2}-x|{x-1}|-3=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x-3，x≤1\\ x-3，x＞1.\end{array}\right.$
根据函数的图象可得，f（x）在$（{-∞，\frac{1}{4}}）$上单调递减，在$（{\frac{1}{4}，+∞}）$上单调递增．-----------------------（6分）
（Ⅱ）$f（x）={x^2}-x|{x-a}|-3a=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-ax-3a，x≤a\\ ax-3a，x＞a.\end{array}\right.$
①当0＜a＜3时，令f（x）=0，
可得${x_1}=3，{x_2}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+24a}}}{4}$，${x_3}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+24a}}}{4}$（因为f（a）=a²-3a＜0，所以x₃＞a舍去）--------------------（8分）
所以$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|=\frac{1}{3}+\frac{4}{{\sqrt{{a^2}+24a}-a}}=\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{{a^2}+24a}+a}}{6a}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{1+\frac{24}{a}}$，
在0＜a＜3上是减函数，所以$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|∈（{1，+∞}）$．-----------------------------（11分）
②当a≥3时，令f（x）=0，则可得x₁，x₂是方程2x²-ax-3a=0的两个根，
所以$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|=\frac{{|{{x_1}-{x_2}}|}}{{|{{x_1}{x_2}}|}}=\frac{{\sqrt{{a^2}+24a}}}{3a}=\frac{1}{3}\sqrt{1+\frac{24}{a}}∈（{\frac{1}{3}，1}]$，------------------（14分）
综合①②得，$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|∈（{\frac{1}{3}，+∞}）$．-------------------------------------（15分）

点评 本题主要考查函数单调性和函数零点的应用，根据分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．