Question

17．已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$，则△ABP的面积为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 可作出图形，根据条件$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$便可得到$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，从而得出PA∥CB，且$PA=\frac{1}{2}CB$，这样便可得到${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=6$．

解答 解：如图，
根据条件，$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）$；
∴$4\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{CB}$；
∴$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$；
∴PA∥CB，且$PA=\frac{1}{2}CB$；
∴${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=6$．
故选C．

点评 考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，共线向量基本定理，以及三角形的面积公式．