Question

6．在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=$\sqrt{3}$，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．

解答 解：设AB=AC=2x，AC=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=$\frac{（2x）^{2}+{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}$=$\frac{5{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}$
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-3}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{4{x}^{2}}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$，
 根据公式三角形面积S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x×2x×$\frac{1}{4{x}^{2}}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{30}{18}）^{2}+9×\frac{3{0}^{2}-1{8}^{2}}{1{8}^{2}}}$，
∴当 x²=$\frac{30}{18}$时，三角形面积有最大值$\frac{1}{2}$$\sqrt{9×\frac{900-324}{324}}$=2．
故选：B．

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大，属于中档题．