Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）（n∈N•）在函数y=$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{x}{2}$的图象上．
（1）设数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）点（n，S_n）（n∈N•）在函数y=$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{x}{2}$的图象上，
可得S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
n=1时，a₁=S₁=1；
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）
=3n-2．对n=1也成立．
则数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
前n项和为T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+$\frac{3}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
即有前n项和为T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．