Question

设x，y满足约束条件

6x-2y-3≤0 x-y+ 1 2 ≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则

1

2a

+

3

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，结合目标函数的最大值得到

a

6

+

b

4

=1，然后利用基本不等式求得

1

2a

+

3

b

的最小值．

解答： 解：由约束条件

6x-2y-3≤0 x-y+ 1 2 ≥0 x≥0，y≥0

作出可行域如图，

化目标函数z=ax+by为y=-

a

b

x+

z

b

，
联立

x-y+ 1 2 =0 6x-2y-3=0

，解得：C（1，

3

2

）．
由图可知，当直线y=-

a

b

x+

z

b

过C（1，

3

2

）时目标函数有最大值为6．
即a+

3

2

b=6．
则

a

6

+

b

4

=1．
∴

1

2a

+

3

b

=(

1

2a

+

3

b

)•(

a

6

+

b

4

)=

1

12

+

3

4

+

b

8a

+

a

2b

≥

5

6

+2

b 8a • a 2b

=

4

3

（当且仅当b=2a时等号成立）．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．