Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）最小费用为万元，相应的角为.

解析试题分析：（Ⅰ）把，，的长度分别用表示，分别求出费用相加即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，用导数为工具，判断其单调区间，求出最小值.
试题解析：（Ⅰ）如图，过作，垂足为，由题意得，
故有，，．       4分
所以   5分

．      8分
（Ⅱ）设(其中)，
则．            10分
令得，即，得．             11分
列表

	+	0	-
	单调递增	极大值	单调递减

所以当时有，此时有．       15分
答：排管的最小费用为万元，相应的角．            16分
考点：函数的应用、导数的应用.