Question

13．定义在R上的函数f（x）周期是6，当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=（　　）

• A． 337
• B． 338
• C． 1678
• D． 2013

Answer 1

分析 定义在R上的函数f（x）周期是6，可得f（x+6）=f（x）．当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，可得f（3）=f（-3），f（4）=f（-2）．当-1≤x＜3时，f（x）=x，可得f（-1）=f（5），f（0）=f（6），f（1），f（2）．利用f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）]×335+f（1）+f（2）+f（3）即可得出．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）周期是6，
∴f（x+6）=f（x）．
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，∴f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0．
当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6），f（1）=1，f（2）=2．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=1+2-1+0-1+0=1．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）]×335+f（1）+f（2）+f（3）=335+1+2-1=337．
故选：A．

点评 本题考查了分段函数的性质、函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．