Question

5．已知命题p：1＜2^x＜8；命题q：不等式x²-mx+4≥0恒成立，若?p是?q的必要条件，实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，4）
• B． （-∞，4]
• C． [4，+∞）
• D． （0，4]

Answer 1

分析 由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x²-mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$对对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求．

解答 解：∵1＜2^x＜8
∴p：0＜x＜3
∵￢p是￢q的必要条件
∴p是q的充分条件即p⇒q
∵x²-mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，
∴m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$对于任意的x∈（0，3）恒成立，
∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=4，当且仅当x=2时等号成立
∴m≤4，
故选：B．

点评 本题主要考查了充分条件的应用及基本不等式求解最值中的应用、及函数的恒成立与最值求解的相互转化关系的应用，注意本题解题技巧的应用．