Question

已知函数f(x)=ax-2lnx，f(1)=0.

(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′()-na_n+1.

①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2；

②若a₁=4，试比较与的大小，并说明你的理由.

Answer 1

解：(1)∵f(1)=a-b=0,∴a=b.

∴f′(x)=a+.要使函数f(x)在其定义域内为单调函数，则在(0,+∞)内f′(x)=a+= 恒大于零，或恒小于零.

1°  当a＞0时，则有f′(x)=a()²+a＞0恒成立，即a＞0，即a＞1；

2°  当a＜0时，

令t=，则f′(x)=g(t)=a(t)²+a的对称轴为t=＜0.

∴f′(x)=g(t)在(0,+∞)内递减，

∴f′(x)＜g(0)=a＜0恒成立；

所以当a＜0时,有f′(x)=a()²+a＜0恒成立.

3°  当a=0时，f′(x)=在(0,＋∞)上恒有f′(x)＜0.

综合1°、2°、3°可知所求的实数a的取值范围为a＞1或a≤0.                      

(2)∵函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，∴f′(1)=0，即a+a-2=0，解得a=1.

∴f′(x)=(-1)²，

∴a_n+1=f′()-na_n+1=a_n²-na_n+1.

①用数学归纳法证明：(i)当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；(ii)假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，

∴a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2＞k+3，这就是说，当n=k+1时，a_k+1≥(k+1)+2.根据(i)和(ii)，对于所有n≥1，有a_n≥n+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①，对k≥2，有a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1，

∴a_k+1≥2(a_k-1+1)≥2²(a_k-2+1)≥2³(a_k-3+1)≥…≥2^k-1(a₁+1).

而，于是当k≥2时，，

∴

=.