Question

8．求下列函数的单调区间：
（1）y=$\frac{{k}^{2}}{x}$+x（k＞0）；
（2）y=x²（1-x）³．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{k}^{2}}{x}$+x（k＞0）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
函数的导数y′=1-$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-{k}^{2}}{{x}^{2}}$，
由y′＞0得x²＞k²，得x＞k或x＜-k，此时函数单调递增，即单调递增区间为（-∞，-k），（k，+∞），
由y′＜0得x²＜k²，得-k＜x＜0，0＜x＜k，此时函数单调递减，即单调递减区间为（-k，0），（0，k）．
（2）解：函数的导数为y′=f′（x）=2x（1-x）³-3x²（1-x）²=x（2-5x）（1-x）²，
由f′（x）=x（2-5x）（1-x）²＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{5}$，此时函数单调递增，
由f′（x）=x（2-5x）（1-x）²＜0，解得x＜0，或x＞$\frac{2}{5}$且x≠1，
当x=1时，f′（1）=0，此时不影响函数的单调性，
即函数的递减区间为（-∞，0），（$\frac{2}{5}$，+∞），递增区间为（0，$\frac{2}{5}$）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的判断，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键