Question

16．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤2}\\{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，若目标函z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则a的取值范围是a＜-2．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，
若a=0，则目标函数为z=2x，即此时函数在A（3，4）时取得最大值，不满足条件．
当a≠0，由z=2x+ay得y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，目标函数斜率-$\frac{2}{a}$＜0，
此时平移y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$，得y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$在点A（3，4）处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件．
若a＜0，目标函数斜率-$\frac{2}{a}$＞0，
要使目标函数z=2x+ay仅在点A（3，4）处取得最小值，
则-$\frac{2}{a}$＜k_AB=1，
即a＜-2，
故答案为：a＜-2

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．