Question

5．若钝角三角形ABC的三个内角满足：∠A＜∠B＜∠C，2∠B=∠A+∠C，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得B=60°，A+C=120°，由正弦定理结合题意可得 m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，由于钝角三角形中，C大于90° 可得0＜A＜30°，利用余切函数的单调性可得答案．

解答 解：在△ABC中，∵∠A＜∠B＜∠C，2∠B=∠A+∠C，
∴B=60°，A+C=120°．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
根据题意可得：m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$．
由于钝角三角形中，C大于90°，
可得：0°＜A＜30°，
解得：m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin（120°-A）}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，
由于$\sqrt{3}$＜cotA＜+∞，
∴m＞2，即m的取值范围是：（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查正弦定理的应用，大角对大边，正弦函数的值域，化m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin（120°-A）}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，是解题的关键．