Question

4．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点为F₁，F₂，M为椭圆C上的动点，则$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$=$\frac{M{F}_{1}+M{F}_{2}}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$=$\frac{10}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$，MF₁•MF₂的最大值为a²=25，能求出$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点为F₁，F₂，M为椭圆C上的动点，
∴$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$=$\frac{M{F}_{1}+M{F}_{2}}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$=$\frac{10}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$，
∵MF₁•MF₂的最大值为a²=25，
∴$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值d_min=$\frac{10}{25}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．