Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由题意知c=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，点（1，2）在y=$\frac{b}{a}$x上，由此能求出双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，
以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），
∴由题意知c=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴a²+b²=5，①
又点（1，2）在y=$\frac{b}{a}$x上，∴$\frac{b}{a}=2$，②
由①②解得a=1，b=2，
∴双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．