Question

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆心为C的圆上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出与y轴，x轴的交点坐标，可以看出圆心在x=3直线上，可设C的圆心为（3，t），利用条件求出方程；
（Ⅱ）根据直线与圆的关系，可得AB=3$\sqrt{2}$，利用点到直线的距离公式可得$\frac{{{|}3-1+a{|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求出a的值．

解答 （Ⅰ）解：曲线y=x²-6x+1与y轴的交点为（0，1），…（1分）
与x轴的交点为$（3+2\sqrt{2}，0）$，$（3-2\sqrt{2}，0）$，…（3分）
∴可设C的圆心为（3，t），则有$9+{（t-1）^2}={（2\sqrt{2}）^2}+{t^2}$，解得t=1，
∴圆C的半径为$\sqrt{9+{{（t-1）}^2}}=3$，
∴圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9…（6分）
（Ⅱ）CA⊥CB，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴C到AB的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{{{|}3-1+a{|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
∴a=1或-5．…（12分）

点评 考查了圆方程的求解和圆与直线的位置关系和性质，属于基础题型．