Question

11．设平面内的向量$\overrightarrow{OA}=（-1，-3）$，$\overrightarrow{OB}=（5，3）$，$\overrightarrow{OM}=（2，2）$，点P在直线OM上，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-16$．
（1）求$\overrightarrow{OP}$的坐标；
（2）求∠APB的余弦值；
（3）设t∈R，求$|\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OP}|$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据P，O，M三点共线可设$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OM}$，利用数量积公式列方程解出；
（2）计算$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的模长，代入向量夹角公式计算；
（3）计算$|\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OP}|$²得到关于t的二次函数，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵点P在直线OM上，设$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OM}=（2λ，2λ）$
∴$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=（-1-2λ，-3-2λ）$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}=（5-2λ，3-2λ）$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-1-2λ）（5-2λ）+（-3-2λ）（3-2λ）=-16$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{OP}=（1，1）$．
（2）$\overrightarrow{PA}=（-2，-4）$，$\overrightarrow{PB}=（4，2）$，
∴$cos∠APB=\frac{{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|}}=\frac{-16}{{\sqrt{{{（-2）}^2}+{{（-4）}^2}}•\sqrt{{4^2}+{2^2}}}}=-\frac{4}{5}$．
（3）$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OP}=（t-1，t-3）$，
∴${（\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OP}）^2}={（t-1）^2}+{（t-3）^2}=2{t^2}-8t+10$=2（t-2）²+2．
当t=2时，（$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OP}$）²取得最小值2，
∴$|\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OP}|$的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，模长计算，属于基础题．