Question

20．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$表示的平面区域为M，点P（x，y）是平面区域内的动点，则z=2x-y的最大值是2，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是$[\frac{1}{3}，\;1]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线过定点P（-2，0），由两点求斜率公式求得PB，PC的斜率，可得k的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得C（1，3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2）．
化目标函数z=2x-y为y=2x-z，
由图可知，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2-2=2；
直线l：y=k（x+2）过定点P（-2，0），
∵${k}_{PB}=\frac{1-0}{1-（-2）}=\frac{1}{3}，{k}_{PC}=\frac{3-0}{1-（-2）}=1$，
∴若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是[$\frac{1}{3}，1$]．
故答案为：2，$[\frac{1}{3}，\;1]$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．