Question

10．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{x}$+b，g（x）=kx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y+e-3=0（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞g（x），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a，b；
（Ⅱ）由题意可得x＞0时，$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{1}{x}$-1＞kx，即e^x-1-x＞kx²，由h（x）=e^x-1-x，求出导数，可得e^x≥1+x，由m（x）=e^x-1-x-kx²，求得导数，讨论2k与1的关系，即可求得k的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{x}$+b的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为-a，切点为（1，e+a+b），
由切线方程为x-y+e-3=0，可得-a=1，e+a+b=e-2，
解得a=b=-1；
（Ⅱ）x＞0时，f（x）＞g（x），
即为x＞0时，$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{1}{x}$-1＞kx，
即e^x-1-x＞kx²，
由h（x）=e^x-1-x的导数为h′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得h（x）在x=0处取得最小值0，即有h（x）≥0成立，
即e^x≥1+x，
e^x-1-x-kx²＞0在x＞0恒成立，
由m（x）=e^x-1-x-kx²，m′（x）=e^x-1-2kx，
当2k≤1时，由e^x≥1+x，可得e^x-1-2kx≥e^x-1-x＞0，
则m（x）在x＞0时递增，即有m（x）＞m（0）=0，
即有e^x-1-x-kx²＞0在x＞0恒成立；
当2k＞1时，e^x-1-x-kx²＞0在x＞0不恒成立．
综上可得，k的范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数，由导数判断单调性，属于中档题．