Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b²+c²=a²+bc．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，c=2，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理即可解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵b²+c²=a²+bc，可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，c=2，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于基础题．