Question

4．已知数列{a_n}：$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$，…
（1）写出数列的通项公式；
（2）计算a₁₀，a₁₅，a_2n+1；
（3）证明；数列{|a_n|}是递增数列．

Answer 1

分析 （1）根据数列项的规律即可写出数列的通项公式；
（2）根据通项公式即可计算a₁₀，a₁₅，a_2n+1；
（3）求出数列{|a_n|}的通项公式，是递增数列．

解答 解：（1）$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$，…等价为$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{6}$，…
则数列的通项公式为a_n=（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{n}{n+2}$．
（2）a₁₀=（-1）¹¹•$\frac{10}{12}$=-$\frac{5}{6}$，．a₁₅=（-1）¹⁶•$\frac{15}{17}$=$\frac{15}{17}$，．
a_2n+1=（-1）²ⁿ⁺¹⁺¹•$\frac{2n+1}{2n+3}$=$\frac{2n+1}{2n+3}$．
（3）∵a_n=（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{n}{n+2}$．
∴|a_n|=$\frac{n}{n+2}$=$\frac{n+2-2}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$，
则y=1-$\frac{2}{n+2}$在[1，+∞）上为增函数，
∴数列{|a_n|}是递增数列．

点评 本题主要考查函数通项公式的求解以及函数单调性的判断，利用数列的函数性质，通过观察法求出数列的通项公式是解决本题的关键．