Question

19．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$bsinA=acosB，a+c=4．
（1）求a，c．
（2）求角B的平分线BD的长．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的定义，结合正弦定理，即可得到所求a，c的值；
（2）运用内角平分线定理，可得$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BA}$+3$\overrightarrow{BC}$）或$\frac{1}{4}$（3$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），再由向量的平方即为模的平方，计算即可的所求值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得accosB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$\sqrt{3}$bsinA=acosB，可得$\sqrt{3}$sinBsinA=sinAcosB，
即有tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得B=30°，
ac=3，又a+c=4，
可得a=1，c=3，或a=3，c=1；
（2）若a=1，c=3，可得$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$=3，
即有$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BC}}{1+3}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BA}$+3$\overrightarrow{BC}$），
可得$\overrightarrow{BD}$²=$\frac{1}{16}$（$\overrightarrow{BA}$+3$\overrightarrow{BC}$）²=$\frac{1}{16}$（c²+9a²+6$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）
=$\frac{1}{16}$（9+9+9$\sqrt{3}$）=$\frac{18+9\sqrt{3}}{16}$，
即有角B的平分线BD的长为$\frac{3}{8}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）；
若a=3，c=1，可得$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
即有$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{BA}}{1+3}$=$\frac{1}{4}$（3$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
可得$\overrightarrow{BD}$²=$\frac{1}{16}$（3$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\frac{1}{16}$（9c²+a²+6$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）
=$\frac{1}{16}$（9+9+9$\sqrt{3}$）=$\frac{18+9\sqrt{3}}{16}$，
即有角B的平分线BD的长为$\frac{3}{8}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．
综上可得角B的平分线BD的长为$\frac{3}{8}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查正弦定理的运用，同时考查内角平方线性质定理的运用，考查运算能力，属于中档题．