Question

7．证明：
（1）$\frac{1-2sin2xcos2x}{co{s}^{2}2x-si{n}^{2}2x}$=$\frac{1-tan2x}{1+tan2x}$；
（2）（2-cos²α）（2+tan²α）=（1+2tan²α）（2-sin²α）．

Answer 1

分析 （1）将所证关系式的左端利用平方差公式，同角三角函数基本关系式转化为：左端=$\frac{cos2x-sin2x}{cos2x+sin2x}$，整理即得右端．
（2）利用同角三角函数基本关系式化简左边=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，同理可证右边=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，可得左边等于右边，从而得证．

解答 证明：（1）左边=$\frac{1-2sin2xcos2x}{co{s}^{2}2x-si{n}^{2}2x}$
=$\frac{（cos2x-sin2x）^{2}}{（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）}$
=$\frac{cos2x-sin2x}{cos2x+sin2x}$
=$\frac{1-tan2x}{1+tan2x}$=右边；
（2）∵左边=（2-cos²α）（2+tan²α）
=4+2tan²α-2cos²α-sin²α
=4+2×（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1）-2cos²α-1+cos²α
=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，
右边=（1+2tan²α）（2-sin²α）
=（1+2tan²α）（1+cos²α）
=1+cos²α+2tan²α+2sin²α，
=1+cos²α+2×（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1）+2-2cos²α，
=1+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$-cos²α，
∴左边=右边，得证．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，考查转化思想与推理证明能力，属于中档题．