Question

1．已知函数f（x）=x³-3$\sqrt{2}$x²+3x+1，讨论函数的单调性．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=3x²-6$\sqrt{2}$x+3，
判别式△=（6$\sqrt{2}$）²-4×3×3=72-36=36，
由f′（x）=3x²-6$\sqrt{2}$x+3=0得方程的根为x₁=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{36}}{6}=\frac{6\sqrt{2}+6}{6}$=1+$\sqrt{2}$，或x₂=$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{36}}{6}$=$\sqrt{2}$-1，
由f′（x）＞0得x＞1+$\sqrt{2}$或x＜$\sqrt{2}$-1，此时函数单调递增，即函数单调递增区间为（-∞，$\sqrt{2}$-1），（$\sqrt{2}$+1，+∞），
由f′（x）＜0得$\sqrt{2}$-1＜x＜$\sqrt{2}$+1，此时函数单调递减，即函数单调递减区间为（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．