Question

【题目】已知正△ABC边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，AN＝BM＝1，如图1所示．将△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使线段PC长为，连接PB，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面BCNM；

（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD＝2DC，求二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）推导出AN⊥MN，即PN⊥MN，PN⊥NC，从而PN⊥平面BCNM，由此能证明平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

解：（Ⅰ）证明：依题意，在△AMN中，AM＝2，AN＝1，∠A，

由余弦定理，，解得，

根据勾股定理得MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN，即PN⊥MN，

在图2△PNC中，PN＝1，NC＝2，PC，

∴PC2＝PN2+NC2，∴PN⊥NC，

∵MN∩NC＝N，∴PN⊥平面BCNM，

∵PN平面PMN，∴平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，

建立空间直角坐标系，

则P（0，0，1），M（，0，0），D（，，0），C（0，2，0），

∴（，0，﹣1），（，，0），

（0，2，﹣1），（，，0），

设平面MPD的一个法向量（x，y，z），

则，取y＝1，得（，1，3），

设平面PDC的法向量（a，b，c），

则，取a＝1，得（1，，2），

设二面角M﹣PD﹣C的平面角为θ，由图知θ是钝角，

∴cosθ．

二面角M﹣PD﹣C的余弦值为．