Question

已知函数f(x)=a|x|+

2

ax

，(a＞0，a≠1)
（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f(x)=a|x|+

2

ax

=3，对x的范围分类进行讨论求解即可．求解本题宜分为两类，分别为x≥0时与x＜0时．
（2） 按a＞1，与0＜a＜1分两类对函数的最值进行讨论，求出最值，若最值与参数无关，则此时的a的范围即所求．

解答：解：（1）令f(x)=a|x|+

2

ax

=3
当x≥0时，方程变为a^2x-3a^x+2=0，解得a^x=1或a^x=2，可得=0或log_a2
 当x＜0时，方程变为1+2=3a^x，解得x=0故此类下无解．
  综上 x=0或log_a2（4分）；
（2）由题设，g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），下分类讨论：
①若a＞1，则
（ⅰ）当x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0时，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna
从而当

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

时，对?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上递增
∴g（x）∈[a2+

2

a2

，3)，由此g（x）有最小值a2+

2

a2

与a有关，不符合．
当

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

时，由g'（x）=0得x=-

1

2

loga2
则-2＜x＜-

1

2

loga2时，g'（x）＜0；-

1

2

loga2＜x＜0时，g'（x）＞0
∴g（x）在[-2，-

1

2

loga2]上递减，在[-

1

2

loga2，0]上递增，∴g（x）_min=g(-

1

2

loga2)=2

2

g（x）有最小值为2

2

与a无关，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，则
（ⅰ）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0时，1＜ax≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，∴g（x）在[-2，0）上递减，
∴g（x）∈(3，a2+

2

a2

]，由此g（x）有最大值a2+

2

a2

与a有关，不符合
综上：实数a的取值范围是a≥

4	2

（6分）．

点评：本题的考点是指数函数的综合题，考查解指数方程与指数函数下的恒成立问题求参数，在第二小题的求解中，由于参数a的取值范围不同，转化的结果不同，故采取了分类讨论的方式来探究本题，此题难度较大，是训练复杂逻辑推理的一道好题，很好地训练了分类讨论的思想与转化化归的思想．