Question

16．已知a，b∈R₊，设x=$\sqrt{ab}$，y=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，求证：
（1）xy≥ab；
（2）x+y≤a+b．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．

解答 证明：（1）∵a，b∈R₊，x=$\sqrt{ab}$，y=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，
∴xy=$\sqrt{ab}$$•\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\sqrt{ab}$$•\sqrt{ab}$=ab，当且仅当a=b时取等号．
（2）∵a，b∈R₊，x+y=$\sqrt{ab}$+$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，
则（a+b）²-（x+y）²=（a+b）²-$（ab+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}+2\sqrt{ab}•\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}）$=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$-$\frac{2\sqrt{2ab（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$，
而（a+b）⁴-（a-b）⁴=8ab（a²+b²），∴（a+b）⁴-8ab（a²+b²）=（a-b）⁴，
∴（a+b）²≥$2\sqrt{2ab（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
∴（a+b）²-（x+y）²≥0，
∴a+b≥x+y．

点评 本题考查了基本不等式的运算性质、平方作差方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．