Question

5．设z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R）．
（1）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
（2）若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据复数z在复平面内对应的点在第三象限，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）把z在复平面内对应点的坐标代人直线方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R），
当z在复平面内对应的点在第三象限时，
$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜1+m＜1}\\{3-m＞1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
∴m的取值范围是-1＜m＜0；
（2）当z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上时，
log₂（1+m）-${log}_{\frac{1}{2}}$（3-m）-1=0，
即log₂（1+m）+log₂（3-m）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m＞0}\\{3-m＞0}\\{（1+m）（3-m）=2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜3}\\{{m}^{2}-2m-1=0}\end{array}\right.$，
解得m=1-$\sqrt{2}$或m=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的几何意义与不等式、方程的解法与应用问题，也考查了对数函数的应用问题，是基础题目．