Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n，数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+3，从而再检验即可；
（2）化简c_n=a_n•b_n=（2n+3）•2ⁿ，从而利用错位相减法求和．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=n²+4n-（（n-1）²+4（n-1））
=2n+3，
当n=1时，a₁=5也符合上式，
故a_n=2n+3；
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（2n+3）•2ⁿ，
T_n=5•2+7•4+9•8+…+（2n+3）•2ⁿ，
2T_n=5•4+7•8+9•16+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
两式作差可得，
T_n=-10-2•4-2•8-2•16-…-2•2ⁿ+（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=（2n+3）•2ⁿ⁺¹-2$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-10
=（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及分类讨论的思想与错位相减法的应用，属于中档题．