Question

4．已知$\overrightarrow a=（{sin\frac{ω}{2}x，sinωx}），\overrightarrow b=（{sin\frac{ω}{2}x，\frac{1}{2}}）$，其中ω＞0，若函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{8}}]$
• B． $（{0，\frac{5}{8}}]$
• C． $（{0，\frac{1}{8}}]∪[{\frac{5}{8}，1}]$
• D． $（{0，\frac{1}{8}}]∪[{\frac{1}{4}，\frac{5}{8}}]$

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．

解答 解：$\overrightarrow a=（{sin\frac{ω}{2}x，sinωx}），\overrightarrow b=（{sin\frac{ω}{2}x，\frac{1}{2}}）$，其中ω＞0，
则函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$=sin²（$\frac{ω}{2}$x）+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
可得T=$\frac{2π}{ω}$≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，结合三角函数可得，
$\left\{\begin{array}{l}{πω-\frac{π}{4}≥0}\\{2πω-\frac{π}{4}≤π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{πω-\frac{π}{4}≥π}\\{2πω-\frac{π}{4}≤2π}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{5}{8}$或0＜ω≤$\frac{1}{8}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．