Question

11．点P到定点F（0，3）的距离和它到定直线y=9的距离的比为1：3，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

Answer 1

分析 设出点P（x，y），利用两点间距离公式、点到直线的距离公式计算即得结论．

解答 解：设点P（x，y），
依题意$\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{（x-0）^{2}+（y-3）^{2}}}{|y-9|}$，
∴$\frac{1}{9}=\frac{{x}^{2}+（y-3）^{2}}{（y-9）^{2}}$，
整理得：9x²+8y²-36y=0，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}+\frac{（y-\frac{9}{4}）^{2}}{\frac{81}{16}}=1$．
∴点P的轨迹方程为即$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}+\frac{（y-\frac{9}{4}）^{2}}{\frac{81}{16}}=1$，轨迹是中心为（0，$\frac{9}{4}$），F为一个焦点，l为相应准线的椭圆．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、椭圆的标准方程，属于基础题．