Question

16．已知a＞0，函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．经过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l₁、l₂，若两切线的斜率互为倒数，则的a取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{e-2}{2e}$）
• B． （$\frac{e-2}{2e}$，$\frac{e-1}{e}$）
• C． （$\frac{e-1}{e}$，$\frac{{{e^2}-1}}{e}$）
• D． （$\frac{{{e^2}-1}}{e}$，$\frac{{2{e^2}-1}}{e}$）

Answer 1

分析 分别设出切线l₁、l₂的切点，求得函数的导数，可得切线的斜率，以及切线的方程，结合两点的斜率公式，可得a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$．消去a，可得lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$=0，求得导数，判断单调性，可得x₁的范围，进而得到所求范围．

解答 解：设切线l₂的方程为y=k₂x，切点为（x₂，y₂），
则y₂=e^x₂，k₂=g′（x₂）=${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
所以x₂=1，y₂=e，则k₂=${e}^{{x}_{2}}$=e．
由题意知，切线l₁的斜率为k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{e}$，l₁的方程为y=k₁x=$\frac{1}{e}$x．
设l₁与曲线y=f（x）的切点为（x₁，y₁），
则k₁=f′（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-a=$\frac{1}{e}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
所以y₁=$\frac{{x}_{1}}{e}$=1-ax₁，a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$．
又因为y₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0．      
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$=0，则m′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若x₁∈（0，1），因为m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
所以x₁∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）上单调递减，所以$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x₁=e，
所以a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍去）．
综上可知，$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数求曲线的切线问题及单调性的运用，考查了化简整理的计算能力，属于难题．