Question

6．如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（1）求证：BD⊥平面ADE；
（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AD=BD=2$\sqrt{2}$，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；
（2）以D为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{BE}$和平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞|．

解答 解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2$\sqrt{2}$．
∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2$\sqrt{2}$
又AB=4，∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面ADE．
（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=$\sqrt{2}$．
过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，
∴D（0，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0）．
设平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，设x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．