Question

16．已知体积为4$\sqrt{6}$的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为2$\sqrt{3}$、4$\sqrt{3}$，那么球O的体积等于（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{7}π}{3}$
• C． $\frac{33π}{2}$
• D． $\frac{11\sqrt{7}π}{2}$

Answer 1

分析 设长方体的长宽高分别为a，b，c，则由题意，abc=4$\sqrt{6}$，ab=2$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{3}$，求出a，b，c，利用长方体的对角线为球O的直径，求出球O的半径，即可求出球O的体积．

解答 解：设长方体的长宽高分别为a，b，c，则由题意，abc=4$\sqrt{6}$，ab=2$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴长方体的对角线长为$\sqrt{2+6+8}$=4，
∵长方体的对角线为球O的直径，
∴球O的半径为2，
∴球O的体积等于$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，利用长方体的对角线为球O的直径是关键．