Question

1．三棱锥A-BCD中，AB=$\sqrt{6}$，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为$\frac{20}{3}$π．

Answer 1

分析 由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，求出球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．

解答 解：由题意画出几何体的图形，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
又∵OA=OD=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{6}$，∴AO⊥DO，
∴球的球心在AD的中点E与O的连线上，
设球心为G，∴OE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，球的半径为R，即GA=GB=GC=GD，
G在OE上，所以AG²-AE²=EG²，BG²-BO²=GO²，EO=EG+GO，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{{R}^{2}-1}$+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$，解得R=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
所以此三棱锥外接球的表面积为4πR²=$\frac{20}{3}$π．
故答案为：$\frac{20}{3}$π．

点评 考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键，考查计算能力，转化思想．