Question

9．已知f（x）=x²+ax+lnx不是单调函数．
（1）求a的取值范围；
（2）如果对满足条件的一个实数a，函数f（x）+m都至多有一个零点，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，根据函数的单调性结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）求出a＜-2$\sqrt{2}$时，f（x₁）→-$\frac{3+ln2}{2}$，问题转化为m+f（x）_极大值=m+f（x₁）＜0恒成立，求出m的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+lnx的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2x+a+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+ax+1}{x}$，
若函数f（x）不单调，
则g（x）=2x²+ax+1只需满足：
$\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-8＞0}\\{{x}_{2}=\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-2$\sqrt{2}$，
（2）x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
当a＜-2$\sqrt{2}$时，f′（x）=2x+a+$\frac{1}{x}$=0的解可设为：
x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
显然x₁，x₂都是正数，
且0＜x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$=$\frac{2}{-a+\sqrt{{a}^{2}-8}}$＜$\frac{2}{-a}$＜$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
易知：ax₁=-1-2${{x}_{1}}^{2}$，
故f（x₁）=${{x}_{1}}^{2}$+ax₁+lnx₁=-1-${{x}_{1}}^{2}$+lnx₁，
令g（x）=-1-x²+lnx，（0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
g′（x）=$\frac{1-{2x}^{2}}{x}$＞0，∴函数g（x）是增函数，
故f（x₁）=-1-${{x}_{1}}^{2}$+lnx₁＜-1-$\frac{1}{2}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{3+ln2}{2}$，
（易验证，当a→-2$\sqrt{2}$时，f（x₁）→-$\frac{3+ln2}{2}$），
易知，函数f（x）+m在（0，x₁）上是增函数，在（x₁，x₂）上是减函数，在（x₂，+∞）上是增函数，
故f（x）_极大值=f（x₁），
如果对一切a＜-2$\sqrt{2}$，函数f（x）+m至多有一个零点，
则，m+f（x）_极大值=m+f（x₁）＜0恒成立，
因此，m-$\frac{3+ln2}{2}$≤0?m≤$\frac{3+ln2}{2}$，
故m的最大值是$\frac{3+ln2}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及函数恒成立问题，是一道综合题．