Question

19．记椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的离心率为e，长半轴长为a，则函数f（x）=ex³-4x²-a²x+1在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率取得最小时x₀的值为（　　）

• A． -4
• B． -1
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 由椭圆的性质求得a和e的值，代入函数f（x），求导，根据切线斜率的几何意义，求得k取最小值时，x₀的取值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1，长半轴长a=3，短半轴长b=2$\sqrt{2}$，半焦距c=1，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
函数f（x）=ex³-4x²-a²x+1=$\frac{1}{3}$x³-4x²-9x+1，
f′（x）=x²-8x-9，
由函数切线斜率的几何意义，k=x²-8x-9，
设g（x）=x²-8x-9，由二次函数的性质可知当x=-$\frac{b}{2a}$=4时，g（x）取最小值，
故k的最小值时，x₀=4，
故答案选：D．

点评 本题考查椭圆的几何性质与导数运算相结合，考查切线方程斜率的意义及二次函数的性质，考查分析问题和解决问题得能力，属于中档题．