Question

2．正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成角的为30°，则正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 设AC∩BD=O，则CO⊥平面PDB，利用直线PC与平面PDB所成角的为30°，可得∠CPO=30°，求出PO，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：设AC∩BD=O，则CO⊥平面PDB，
∵正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵直线PC与平面PDB所成角的为30°，
∴∠CPO=30°，
∴PO=$\sqrt{6}$．
设正四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R，则R²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{6}$-R）²，
∴R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4πR²=$4π•（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$=$\frac{32}{3}π$．
故答案为：$\frac{32}{3}π$．

点评 本题考查正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出正四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．