Question

7．已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R，g（x）=x²-1．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x²-1|，分类讨论，分别解关于x的不等式，最后取两部分的并集即可得到原不等式的解集；
（2）由题意，分类讨论，确定函数的单调性，可得F（a）的表达式．

解答 解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x-1|≥x²-1，…（1分）
当x≥1时，不等式为x²-x≥x²-1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）
当x＜1时，不等式为x-x²≥x²-1，解得$-\frac{1}{2}≤x≤1$，
所以$-\frac{1}{2}≤x＜1$；…（5分）
综上，x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．…（6分）
（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x²-ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，
所以F（a）=f（2）=4-2a；…（7分）
当0＜a＜2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，0≤x＜a\\{x^2}-ax，a≤x＜2\end{array}\right.$，
则f（x）在区间$[0，\frac{a}{2}]$上是增函数，在区间$[\frac{a}{2}，a]$上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，
所以F（a）=max{f（$\frac{a}{2}$），f（2）}，…（9分）
而$f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$，f（2）=4-2a，令$f（\frac{a}{2}）＜f（2）$即$\frac{a^2}{4}＜4-2a$，
解得$-4-4\sqrt{2}＜a＜-4+4\sqrt{2}$，
所以当$0＜a＜4\sqrt{2}-4$时，F（a）=4-2a；…（11分）
令$f（\frac{a}{2}）≥f（2）$即$\frac{a^2}{4}≥4-2a$，解得$a≤-4-4\sqrt{2}$或$a≥-4+4\sqrt{2}$，
所以当$4\sqrt{2}-4＜a≤2$时，$F（a）=\frac{a^2}{4}$；…（12分）
当a≥2时，f（x）=-x²+ax，
当$1≤\frac{a}{2}＜2$即2≤a＜4时，f（x）在间$[0，\frac{a}{2}]$上是增函数，在$[\frac{a}{2}，2]$上是减函数，
则$F（a）=f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$；…（13分）
当$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a-4；…（14分）
所以，$F（a）=\left\{\begin{array}{l}4-2a，a≤4\sqrt{2}-4\\ \frac{a^2}{4}，4\sqrt{2}-4＜a＜4\\ 2a-4，a≥4\end{array}\right.$，…（16分）

点评 本题给出含有参数且含有绝对值的不等式，求不等式的解集并求F（a）的表达式的问题，着重考查函数的性质及应用、绝对值不等式的解法等知识，属于难题．