Question

19．设a＞0，b＞0，分别用综合法与分析法求证：a³+b³≥a²b+ab²．

Answer 1

分析 使用做差法和及逆推导即可证明结论．

解答 证明：（1）综合法：
∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a-b）²≥0．
∴（a-b）²（a+b）≥0．即（a²-b²）（a-b）≥0．
∴a³-a²b-ab²+b³≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²．
（2）分析法：
欲证a³+b³≥a²b+ab²，
只需证：a³+b³-（a²b+ab²）≥0，
只需证：（a-b）（a²-b²）≥0，
即证（a-b）²（a+b）≥0．
显然上式成立，
∴a³+b³≥a²b+ab²．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．