Question

13．已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且OA，OB，OC两两垂直，则球心O到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知先求出V_A-OBC=$\frac{1}{6}$，设球心O到平面ABC的距离为h，则V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=V_△A-OBC，利用等体积法能求出球心O到平面ABC的距离．

解答 解：∵球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且OA，OB，OC两两垂直，
∴OA=OB=OC=1，AB=AC=BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
V_A-OBC=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$=$\frac{1}{6}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设球心O到平面ABC的距离为h，
则V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=V_△A-OBC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{1}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴球心O到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查球心到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．