Question

8．三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形且边长为$\sqrt{3}$，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4π．

Answer 1

分析 平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，可得球心O在平面ABC上，且在AB边的高CO上，利用△ABC为正三角形且边长为$\sqrt{3}$，可得CO′=$\frac{3}{2}$，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，
∴球心O在平面ABC上，且在AB边的高CO上
∵△ABC为正三角形且边长为$\sqrt{3}$，
∴CO′=$\frac{3}{2}$
设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-R）²，
∴R=1，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球心的位置，求出三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．