Question

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点A（1，0），且离心率为$\sqrt{3}$
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）依题意$e=\sqrt{3}，a=1$，故$c=\sqrt{3}$，所以b²=2，由此能求出双曲线方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ x-y+m=0\end{array}\right.$，得x²-2mx-m²-2=0，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，中点在直线x-y+m=0上，所以可得中点坐标为（m，2m），由此能求出m的值．

解答 解：（1）∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点A（1，0），
∴a=1，
∵双曲线的离心率为$\sqrt{3}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，则c=$\sqrt{3}$，
则b²=c²-a²=3-1=2，
则双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ x-y+m=0\end{array}\right.$，
得x²-2mx-m²-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，
又∵中点在直线x-y+m=0上，
所以中点坐标为（m，2m），
代入x²+y²=5得m=±1满足判别式△＞0．

点评 本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，根据条件建立方程求出a，b的值是解决本题的关键，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件中的隐含条件，合理地进行等价转化．