Question

12．已知中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF₁F₂的内切圆与x轴相切于点Q（2$\sqrt{2}$，0），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出a，c即可得到结论．

解答 解：中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上的双曲线为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，
∵△PF₁F₂的内切圆与x轴相切于点Q（2$\sqrt{2}$，0），
∴|F₁Q|=|F₁C|=c+2$\sqrt{2}$，∴|F₂Q|=|F₂B|=c-2$\sqrt{2}$，
∴由双曲线的定义得||F₁P|-|F₂P|=|F₁C|-|F₂B|=c+2$\sqrt{2}$-（c-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$=2a，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∵双曲线经过点P（4，2），
∴$\frac{16}{8}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，则b²=4，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{8+4}=\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据三角形内切圆的性质求出a，c是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解．