Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取PA的中点N，连接QN，BN，则可证四边形BCQN为平行四边形，得出CQ∥BN，于是CQ∥平面PAB；
（II）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO，则可证OB⊥AD，PO⊥平面ABCD，以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PD}$和平面ACQ的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PD}$＞|即为直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中点，
∴QN∥AD，且QN=$\frac{1}{2}$AD．
∵PA=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，
∴AD=$\sqrt{PA2+PD2}$=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四边形BCQN为平行四边形，
∴BN∥CQ．又BN?平面PAB，且CQ?平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO
由（1）知PA=AM=PM=2，
∴△APM为等边三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），A（0，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，2，0），Q（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AQ}$=（0，$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设平面AQC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AQ}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y=0}\\{\frac{5}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=-$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，5）．
∴cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}•\sqrt{37}}$=-$\frac{{4\sqrt{37}}}{37}$．
∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为$\frac{{4\sqrt{37}}}{37}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．