Question

17．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，且b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将点代入直线方程，由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
可得a_n-a_n+1+1=0，即为a_n+1-a_n=1，
即数列{a_n}为首项为1，公差为1的等差数列，
可得a_n=1+n-1=n；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力化简能力，属于中档题．